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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

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1.8. Decidir si los conjuntos dados a continuación, están acotados superiormente y/o inferiormente. En caso afirmativo, encontrar el supremo y/o el ínfimo y decidir si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.
a) $(0, +\infty)$

Respuesta

Perfeeeecto, tenemos el conjunto $(0, +\infty)$, veamos qué le está pasando. Como es el primer ejercicio, vamos a aprovechar para repasar algunos conceptos.
Cota inferior: Acordate que un número $k$ es cota inferior de nuestro conjunto si $\textbf{todos}$ los elementos del conjunto son mayores o iguales que $k$. En este caso fijate que todos los números pertenecientes a $(-\infty, 0]$ son cota inferior. 

Ínfimo: Es la mayor de las cotas inferiores. En este caso el ínfimo sería el $0$. 

Mínimo: Si el ínfimo pertenece al conjunto, entonces es mínimo. Acordate que nuestro conjunto es el $(0, +\infty)$, con el cero con paréntesis, o sea que no está incluido. Entonces, en este caso el $0$ no pertenece al conjunto, por lo tanto no hay mínimo. 
Cota superior: Misma idea, un número $k$ es cota superior de nuestro conjunto si $\textbf{todos}$ los elementos del conjunto son menores o iguales que $k$. En este caso, fijate que nuestro conjunto no está acotado superiormente, ya que incluye todos los números mayores que 0 hasta el infinito.
Supremo: Es la menor de las cotas superiores. En este caso no existe supremo, ya que este conjunto no está acotado superiormente. 

Máximo: Si el supremo pertenece al conjunto, entonces es máximo. En este caso no hay supremo, así que menos va a haber un máximo jeje se va entendiendo la idea?
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Avatar Carolina 24 de marzo 22:03
Hola! No me quedó claro el tema de las cotas, si el conjunto es (0, +infinito) ¿Por qué la cota inferior son los números del (-infinito, 0)? Siendo que no forman parte del conjunto. 
Avatar Flor Profesor 25 de marzo 07:26
@Carolina Hola Caro! Exacto, en este caso los números de la cota inferior no forman parte del conjunto y está bien que eso pase. Vos acordate que un número es cota inferior de mi conjunto $(0,+\infty)$ si yo me paro en ese número y veo que toooodos los elementos de mi conjunto son mayores o iguales a ese número. Por ejemplo, me paro en el $-1$, ¿todos los elementos de mi conjunto son mayores o iguales a $-1$? Si claro, entonces $-1$ forma parte de la cota inferior. Y si ahora me paro en el $-12$? También. Y en el $-10000$? Y si, también... Y si me paro justo en el $0$? También! Atenti acá, si yo estoy parada en el cero también se cumple que todos los elementos de mi conjunto $(0,+\infty)$ son mayores a cero. Entonces el $0$ también es cota inferior.

Y así podría estar toda una vida nombrando números que, si yo me paro ahí, veo que todos los elementos del conjunto $(0,+\infty)$ son más grandes que ese número. Entonces, una manera más práctica es darnos cuenta que cualquier número que pertenezca al intervalo $(-\infty, 0]$ va a ser cota inferior.

Avisame si ahí lo ves más claro!
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